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Los Orígenes de la Óptica

Publicado: 25 octubre, 2012 en Ciencia
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Ojos de superhéroe

En la Grecia Clásica la ciencia fue conformándose como una rama de la filosofía. Los filósofos naturales, que podrían empezar a llamarse físicos, especularon acerca de la naturaleza física de la luz y del proceso fisiológico de la visión.

Por su lado, los matemáticos, que éstos sí que estaban ya muy bien posicionados, aplicaron la geometría al estudio de los rayos para explicar deductivamente los fenómenos de la perspectiva (óptica), la reflexión (catróptica) y la refracción (dióptica).

Un punto de vista matemático exige abstraer determinados rasgos de los procesos visuales, tales como que los rayos viajan en línea recta, con olvido de otros, tales como los colores. Como consecuencia, el modelo de la visión de los matemáticos, de origen pitagórico, era bastante peculiar.

Del ojo emanan rayos visuales que permiten percibir los objetos sobre los que inciden, como si fuesen pseudópodos con los que se palpan las cosas. Las consecuencias que entrañaba esta teoría son cuanto menos estrambóticas, como el hecho de que hay que llenar regiones vastísimas con emanaciones oculares de modo instantáneo. Obviamente presentaba indudables ventajas para la matematización frente a otras teorías rivales.

Una de ellas era la teoría atomista, según la cual es el objeto el que emite simulacros o capas de átomos que viajan conservando su forma hasta el ojo. Vemos por contacto con los simulacros presentes en el espacio. Esta doctrina, clara y mecánica, sin embargo no explicaba la función de la luz en la visión, es decir, porqué no captamos los simulacros de noche.

Otras teorías prestaban atención al medio continuo interpuesto entre el ojo y los objetos. Platón suponía que el fuego emanado del sujeto y la luz interactuaban para crear el medio óptico, y Aristóteles consideraba que los cuerpos luminosos actualizaban la transparencia potencial del medio, que es en lo que consiste la luz. A su vez, los cuerpos coloreados interactúan con este medio lumínico continuo, operando en él ciertos cambios que percibimos. Este era el tipo de teoría preferida por Galeno…el médico.

Euclides y sus postulados

Aunque las teorías de la alternativa del medio o de la emanación de átomos de los objetos fuese fisiológica y físicamente más atractivas que la de la emisión de rayos del sujeto, esta se prestaba de perlas a la geometrización y demostración de las leyes de la óptica, mientras que aquellas eran incapaces de suministrar los principios capaces de derivar los fenómenos básicos de la formación del campo visual y de la perspectiva.

En realidad, y como ha sido siempre, la elección del modelo de visión dependía de los intereses profesionales. Por muy atractivas que fuesen para físicos y fisólogos, las doctrinas del medio y de la emisión del objeto no servían a los geómetras.

La teoría de la emisión ocular salvaba trivialmente los fenómenos básicos del campo visual, como se recoge en los supuestos de la Óptica de Euclides. Si el ojo emite sus rayos visuales discretos y rectilíneos formando un cono con el vértice en el ojo, la ordenación del campo visual es obvia. Los objetos alcanzados por los rayos de la derecha del cono se ven a la derecha, distinguiremos mejor los detalles cuanto más rayos alcancen al objeto.

Como era usual en la tradición geométrica, los postulados se exponen sin la menor discusión física previa, y se procede sin más a demostrar las proposiciones.

Por ejemplo, la primera establece que ningún objeto se ve completamente a la vez, porque los objetos son continuos, pero los rayos que salen de los ojos son discretos y por lo tanto hay intervalos del objeto que no están cubiertos por ningún rayo. Si nos da la impresión que vemos el objeto entero es porque lo barremos rápidamente con nuestros rayos.

La base física y fisiológica de los postulados era oscurísima, pero una vez concedida, todo se deriva con el rigor y claridad usuales en la geometría.

Ptolomeo estaba a todas…

Un siglo después, se escribió la Óptica de Ptolomeo, perdida en la noche de la historia. Esta obra tuvo gran influencia en el siglo XI sobre Ibn al-Haytham (Alhazen), que fue el primero en construir un modelo geométrico en el que la luz procede del objeto. Pero como tantas otras teorías, ésta fue bastante mal conocida entre los cristianos, que a pesar de todo, conocieron a Ptolomeo a través de Alhazen.

El enfoque de Ptolomeo fue muy importante al incluir la indagación y prueba experimental de los primeros principios de la demostración geométrica de las leyes de la óptica.

Los axiomas no eran ni autoevidentes ni postulados al modo de Euclides, sino que se justificaban mediante experimentos, sometiendo así la matematización a la indagación empírica.

Ptolomeo deriva las leyes de la catróptica de tres principios:

  1. en los espejos, los objetos se ven en la dirección del rayo visual
  2. la imagen parece estar en la prolongación de la perpendicular del objeto al espejo
  3. los ángulos incidente y reflejado forman ángulos iguales con la normal

Pero los resultados más originales de Ptlomeo fueron los de la dióptrica, es decir, las ilusiones producidas por las desviaciones de los rayos en la interfaz que separa dos medios transparentes de diferente densidad. Para Ptolomeo esta desviación no se produce en ángulos iguales, sino que los ángulos con la normal tienen cierta relación cuantitativa definida. El problema era dar con ella.

La ley básica de la refracción, según la cual la razón entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es constante para un par de medios dado, no se descubrió hasta comienzos del siglo XVII gracias a Snell; pero Ptolomeo experimentó sistemáticamente en busca de esa relación, introduciendo la mitad de un disco graduado en agua y en vidrio para tabular las posiciones del objeto visto por refracción en el caso de aire-agua, aire-vidrio y agua-vidrio.

Estos experimentos también mostraron que hay una menor refracción entre agua y vidrio cuyas densidades están muy próximas; que el rayo refractado se acerca a la normal en medios más densos; que la trayectoria es reversible, etc.

El estudio de la refracción tiene una aplicación importante para la astronomía, porque la interfaz entre el aire terrestre y el éter celeste refracta los rayos visuales que van a los astros, haciendo que parecan estar más altos en una cantidad que aumenta desde el zenit al horizonte.

Parece ser que fue Cleómedes en el siglo I a.C. el primero que atribuyó a la refracción el hecho de que se viesen a la vez la Luna y el Sol sobre el horizonte en el momento de un eclipse, cuando supuestamente esos cuerpos deberían estar en línea con la Tierra. La razón de ello se atribuía a que la refracción hacía aparecer a ambos cuerpos más elevados de lo que en realidad estaban.

Conocer la refracción atmosférica para corregir la posición aparente y operar con la real en los cálculos fue un serio problema de la astronomía que Ptolomeo no llegó a resolver por desconocer la extensión de la atmósfera.

La óptica geométrica, a falta de la ley de la refracción, quedaba así como un campo en el que pocas novedades cabía esperar. Los avances de los árabes y luego del siglo XVII se produjeron en el estudio físico de la luz y los colores y de la teoría de la visión.

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La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados

Por poca matemática que sepas, seguro que esto te suena. No podríamos decir que fuera Euclides el que lo demostró por primera vez, pero desde luego lo recopiló junto a otros teoremas en un libro que es el fundamento de la geometría y uno de los pilares básicos de otras parcelas de conocimiento como la física, la astronomía y hasta la química: Los Elementos. En este fantástico libro, a partir de 5 postulados básicos se dedica a explorar el estudio de las propiedades de cuerpos regulares: líneas, planos, círculos, esferas, tríangulos, conos…Toda una orgía de la geometría.

Por si fuera poco, Euclides introdujo un elemento realmente novedoso en la matemática de la época, el método deductivo, aplicado al marco de las organizaciones locales. Para que se entienda ponemos dos grandes y clásicos ejemplos: la geometría del triángulo y la geometría de la circunferencia. Ambos fueron desarrollándose como pequeños universos de conocimiento geométrico. De esta manera fue posible aplicar los resultados que iban siendo establecidos dentro de estos universos particulares a problemas del espacio físico general, ya que la geometría se desarrollaba como una representación y organización del conocimiento sobre el espacio físico.

Pero el motivo fundamental por el que era necesario incorporar el método deductivo a la matemática era la intención filosófica de construir una ciencia teórica cuya meta era el conocimiento de la verdad.

El objetivo del método deductivo era explicar. Explicar era demostrar. Para explicar, en cualquier ciencia, hay que partir de primeros principios. La estructura de una ciencia completa debía ser por tanto un sistema deductivo de enunciados. Esta organización, ya de carácter global, para el caso de la geometría quedó plasmada en los Elementos de Euclides. Allí hay una organización que rebasa ampliamente las organizaciones locales. La intención filosófica de construir una ciencia desde sus primeros principios la podemos hallar en Aristóteles, quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa y los elementos que la componen:

  • las definiciones, que han de incluir el género y la diferencia específica, es decir, por una parte la clase a la que pertenece el término definido, y por otra las características que lo diferencian de esa clase.
  • los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados (premisa ni evidente ni probada pero que se acepta como válida y no puede referirse a otro principio) y los comunes a todas, los axiomas (premisa evidente por sí misma que no necesita demostración)
  • finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones demostradas a través de la inferencia, los teoremas (afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal).

Euclides formuló sistemas de enunciados que incluían estos elementos organizados de tal manera que la verdad de los teoremas se seguía de la supuesta verdad de los axiomas.  Hay tres aspectos del ideal de sistematización deductiva. Veámoslos con más detalle.

SISTEMATIZACIÓN DEDUCTIVA

El primero de los tres aspectos necesarios para una sistematización deductiva sería que los axiomas y los teoremas están relacionados deductivamente. En realidad este es el típico caso de haz lo que digo y no lo que hago, ya que Euclides dedujo algunos de sus teoremas apelando a la operación de superponer figuras para establecer su congruencia. Pero en los axiomas no aparece referencia alguna a esta operación de superposición. Por tanto, Euclides “probó” algunos de sus teoremas saliéndose del método axiomático. Aún así, la validez de esta afirmación es irrefutable.

En segundo lugar, los propios axiomas son verdades evidentes. Este requisito fue muy controvertido. Compartido tanto por el ideal deductivo como por la orientación pitagórica. En cambio, los que siguieron la tradición de salvar las apariencias rechazaron el requisito aristotélico de verdad material. Según Simplicio, hablando de astronomía matemática, al astrónomo le corresponde únicamente decidir “cuales son los movimientos circulares, uniformes y perfectamente regulares que conviene tomar como hipótesis a fin de salvar las apariencias presentadas por los planetas”. Basta con que estas hipótesis permitan ordenar los cielos, sin pretender que correspondan a entidades que existen realmente. Es decir, para los seguidores de la tradición de salvar las apariencias presentan una verdad formal de las construcciones de estas operaciones que no tiene por qué ser material. Dicho de otro modo, para “salvar las apariencias” basta con que las consecuencias deductivas de los axiomas estén de acuerdo con las observaciones. El que los axiomas en sí mismos no sean plausibles, o incluso sean falsos, es irrelevante. Este segundo requisito y el tercero que viene a continuación están muy relacionados, ya que de lo que se trata al fin y al cabo es de la correspondencia entre las teorías y la realidad.

El tercer requisito consiste en que los teoremas concuerden con las observaciones. Es decir, el sistema deductivo debe estar en contacto con la realidad. Ciertamente Euclides intentó probar teoremas que tuviesen aplicación práctica. Pero, para estar en contacto con el reino de la experiencia, es necesario que al menos algunos de los términos del sistema deductivo hagan referencia a objetos y relaciones del mundo. Parece que Euclides supuso que términos tales como “punto”, “línea” o “peso” tenían correlatos empíricos. Puede ser que la preocupación de Arquímedes (en esta línea que venimos comentando) por las leyes aplicables a “su palanca ideal” refleje una tradición filosófica en la cual se establece un contraste entre las complejidades inmanejables de los fenómenos y la pureza intemporal de las relaciones formales. Esta tradición se vio a menudo reforzada por la opinión ontológica de que el reino de los fenómenos es, en el mejor de los casos, una “imitación” o “reflejo” del “mundo real”. La responsabilidad principal por la promulgación de éste punto de vista recae sobre Platón y sus intérpretes. Este dualismo tuvo importantes repercusiones en el pensamiento de Galileo y Descartes.

Casi todos los científicos y filósofos posteriores consideran que el segundo y tercer requisito pueden ser discutibles, pero todos coinciden en que el primero es fundamental. No es posible subscribir el ideal deductivo sin aceptar el requisito de que los teoremas estén deductivamente relacionados con los axiomas.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS

Euclides empleó dos importantes técnicas para probar teoremas a partir de sus axiomas, pero no fue el único, por lo menos Arquímedes también las usó:

  • La técnica de reductio ad absurdum. La reducción al absurdo se utiliza para probar que el teorema T es verdad. Y para ello se comienza por asumir justo lo contrario, que T no es verdadero y se deduce a partir de esta negación una posible contradicción en las premisas, de la forma p y no p. De esta forma,  se afirma la necesaria verdad de T en función del principio de no contradicción de los axiomas.
  • El método de exhaución, también conocido como el método de demostración por casos. Es una extensión del método de reductio ad absurdum. Consiste en mostrar que cada posible contrario de un teorema tiene consecuencias que son incompatibles con los axiomas del sistema. Es decir, la proposición a ser probada se divide en un número finito de casos, y cada caso es demostrado por separado. Una demostración por casos consta de dos etapas:
    • Una prueba de que los casos son exhaustivos; es decir, que cada instancia de la proposición a ser probada coincide con las condiciones de (al menos) uno de los casos.
    • Una demostración de cada uno de los casos.

Y DESPUÉS DE EUCLIDES…

Al explorar las proposiciones como miembros constitutivos de un sistema axiomático de geometría, el significado mismo de proposición fue evolucionando gradualmente. La proposición ya no era una representación de alguna propiedad del espacio físico, fue perdiendo su valor ontológico, a la par que iba aumentando su aspecto lógico. Este proceso duró varios siglos y tuvo importantes motivaciones.

Principalmente, el Postulado V de Euclides fue un gran motivador. Es el postulado conocido como el postulado de las paralelas, que en su forma simplificada viene a decirnos que dos rectas paralelas son equidistantes. Desde tiempos del propio Euclides, este postulado fue visto como una proposición demasiado complicada como para ser considerada un postulado, ya que carecía de la evidencia en sí que debía caracterizar las proposiciones dignas de tal nombre.

Hasta el siglo XIX, gran parte de la historia de la geometría se centra en la demostración del postulado de marras. De hecho, arrastra consigo la misma evolución del concepto de demostración. Desde el comienzo, fue claro para quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlo dentro del contexto euclidiano y ello comportaba una hipótesis de profundo valor epistemológico: el espacio era euclidiano. La demostración del postulado simplemente haría más ligero el sistema postulacional. No hubo, en general, duda alguna del isomorfismo entre el sistema euclideo y el espacio físico. Hasta comienzos del siglo XIX la idea de lo que constituía una demostración en geometría fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides. Cuando Newton publica su obra, los Principia, toma como modelo Los Elementos (Euclides fue por lo tanto uno de los gigantes en cuyos hombros estaba subido).  Aunque para su trabajo sobre el cálculo, que se desarrolla mediante el lenguaje del álgebra, sus criterios de legitimación son diferentes.

Pero durante el siglo XIX las cosas cambiaron drásticamente. Entonces, la metodología de la geometría fue adoptada por el álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió cambios radicales a través de la obra Fundamentos de Geometría de D. Hilbert, que reformuló la geometría de Euclides de forma más próxima al ideal deductivo.

En los Elementos, los axiomas son verdades evidentes por lo cual no necesitan de una demostración que los justifique como tales. En consecuencia, lo que podamos deducir de ellos, tendrá también el carácter de verdad que tienen los axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene en cuenta el carácter de verdad de los axiomas; lo fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan entre sí. Los resultados que se deduzcan de los axiomas, tendrán el carácter de deducciones pero no un valor asociado de verdad. Un pequeño paso desde Euclides, un gran salto para la ciencia.