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Los Orígenes de la Óptica

Publicado: 25 octubre, 2012 en Ciencia
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Ojos de superhéroe

En la Grecia Clásica la ciencia fue conformándose como una rama de la filosofía. Los filósofos naturales, que podrían empezar a llamarse físicos, especularon acerca de la naturaleza física de la luz y del proceso fisiológico de la visión.

Por su lado, los matemáticos, que éstos sí que estaban ya muy bien posicionados, aplicaron la geometría al estudio de los rayos para explicar deductivamente los fenómenos de la perspectiva (óptica), la reflexión (catróptica) y la refracción (dióptica).

Un punto de vista matemático exige abstraer determinados rasgos de los procesos visuales, tales como que los rayos viajan en línea recta, con olvido de otros, tales como los colores. Como consecuencia, el modelo de la visión de los matemáticos, de origen pitagórico, era bastante peculiar.

Del ojo emanan rayos visuales que permiten percibir los objetos sobre los que inciden, como si fuesen pseudópodos con los que se palpan las cosas. Las consecuencias que entrañaba esta teoría son cuanto menos estrambóticas, como el hecho de que hay que llenar regiones vastísimas con emanaciones oculares de modo instantáneo. Obviamente presentaba indudables ventajas para la matematización frente a otras teorías rivales.

Una de ellas era la teoría atomista, según la cual es el objeto el que emite simulacros o capas de átomos que viajan conservando su forma hasta el ojo. Vemos por contacto con los simulacros presentes en el espacio. Esta doctrina, clara y mecánica, sin embargo no explicaba la función de la luz en la visión, es decir, porqué no captamos los simulacros de noche.

Otras teorías prestaban atención al medio continuo interpuesto entre el ojo y los objetos. Platón suponía que el fuego emanado del sujeto y la luz interactuaban para crear el medio óptico, y Aristóteles consideraba que los cuerpos luminosos actualizaban la transparencia potencial del medio, que es en lo que consiste la luz. A su vez, los cuerpos coloreados interactúan con este medio lumínico continuo, operando en él ciertos cambios que percibimos. Este era el tipo de teoría preferida por Galeno…el médico.

Euclides y sus postulados

Aunque las teorías de la alternativa del medio o de la emanación de átomos de los objetos fuese fisiológica y físicamente más atractivas que la de la emisión de rayos del sujeto, esta se prestaba de perlas a la geometrización y demostración de las leyes de la óptica, mientras que aquellas eran incapaces de suministrar los principios capaces de derivar los fenómenos básicos de la formación del campo visual y de la perspectiva.

En realidad, y como ha sido siempre, la elección del modelo de visión dependía de los intereses profesionales. Por muy atractivas que fuesen para físicos y fisólogos, las doctrinas del medio y de la emisión del objeto no servían a los geómetras.

La teoría de la emisión ocular salvaba trivialmente los fenómenos básicos del campo visual, como se recoge en los supuestos de la Óptica de Euclides. Si el ojo emite sus rayos visuales discretos y rectilíneos formando un cono con el vértice en el ojo, la ordenación del campo visual es obvia. Los objetos alcanzados por los rayos de la derecha del cono se ven a la derecha, distinguiremos mejor los detalles cuanto más rayos alcancen al objeto.

Como era usual en la tradición geométrica, los postulados se exponen sin la menor discusión física previa, y se procede sin más a demostrar las proposiciones.

Por ejemplo, la primera establece que ningún objeto se ve completamente a la vez, porque los objetos son continuos, pero los rayos que salen de los ojos son discretos y por lo tanto hay intervalos del objeto que no están cubiertos por ningún rayo. Si nos da la impresión que vemos el objeto entero es porque lo barremos rápidamente con nuestros rayos.

La base física y fisiológica de los postulados era oscurísima, pero una vez concedida, todo se deriva con el rigor y claridad usuales en la geometría.

Ptolomeo estaba a todas…

Un siglo después, se escribió la Óptica de Ptolomeo, perdida en la noche de la historia. Esta obra tuvo gran influencia en el siglo XI sobre Ibn al-Haytham (Alhazen), que fue el primero en construir un modelo geométrico en el que la luz procede del objeto. Pero como tantas otras teorías, ésta fue bastante mal conocida entre los cristianos, que a pesar de todo, conocieron a Ptolomeo a través de Alhazen.

El enfoque de Ptolomeo fue muy importante al incluir la indagación y prueba experimental de los primeros principios de la demostración geométrica de las leyes de la óptica.

Los axiomas no eran ni autoevidentes ni postulados al modo de Euclides, sino que se justificaban mediante experimentos, sometiendo así la matematización a la indagación empírica.

Ptolomeo deriva las leyes de la catróptica de tres principios:

  1. en los espejos, los objetos se ven en la dirección del rayo visual
  2. la imagen parece estar en la prolongación de la perpendicular del objeto al espejo
  3. los ángulos incidente y reflejado forman ángulos iguales con la normal

Pero los resultados más originales de Ptlomeo fueron los de la dióptrica, es decir, las ilusiones producidas por las desviaciones de los rayos en la interfaz que separa dos medios transparentes de diferente densidad. Para Ptolomeo esta desviación no se produce en ángulos iguales, sino que los ángulos con la normal tienen cierta relación cuantitativa definida. El problema era dar con ella.

La ley básica de la refracción, según la cual la razón entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción es constante para un par de medios dado, no se descubrió hasta comienzos del siglo XVII gracias a Snell; pero Ptolomeo experimentó sistemáticamente en busca de esa relación, introduciendo la mitad de un disco graduado en agua y en vidrio para tabular las posiciones del objeto visto por refracción en el caso de aire-agua, aire-vidrio y agua-vidrio.

Estos experimentos también mostraron que hay una menor refracción entre agua y vidrio cuyas densidades están muy próximas; que el rayo refractado se acerca a la normal en medios más densos; que la trayectoria es reversible, etc.

El estudio de la refracción tiene una aplicación importante para la astronomía, porque la interfaz entre el aire terrestre y el éter celeste refracta los rayos visuales que van a los astros, haciendo que parecan estar más altos en una cantidad que aumenta desde el zenit al horizonte.

Parece ser que fue Cleómedes en el siglo I a.C. el primero que atribuyó a la refracción el hecho de que se viesen a la vez la Luna y el Sol sobre el horizonte en el momento de un eclipse, cuando supuestamente esos cuerpos deberían estar en línea con la Tierra. La razón de ello se atribuía a que la refracción hacía aparecer a ambos cuerpos más elevados de lo que en realidad estaban.

Conocer la refracción atmosférica para corregir la posición aparente y operar con la real en los cálculos fue un serio problema de la astronomía que Ptolomeo no llegó a resolver por desconocer la extensión de la atmósfera.

La óptica geométrica, a falta de la ley de la refracción, quedaba así como un campo en el que pocas novedades cabía esperar. Los avances de los árabes y luego del siglo XVII se produjeron en el estudio físico de la luz y los colores y de la teoría de la visión.

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Situémonos en la Edad Media. Esa época mal conocida como una etapa oscura de la humanidad, y sin embargo, cuajada de grandes avances científicos, porque en realidad, la oscuridad sólo estaba en Europa, auspiciada por el asfixiante ambiente religioso del momento. Y la humanidad se extendía mucho más allá de las fronteras cristianas.

Si nos desplazamos hacia el Este y nos situamos en el mundo islámico, esa cultura tan denostada en nuestros días, nos encontramos con un entorno que en la Edad Media era garante de vanguardia social y científica, plagado de grandes avances que fueron conocidos mal y tarde, debido entre otros aspectos al egocentrismo intransigente e intolerante que rodeaba a Europa.

Si has podido realizar ese salto espaciotemporal sin demasiado vértigo, y te interesa la historia de la Astronomía, te voy a contar una historia, que para algunos será tan desconocida como relevante.

Ptolomeo, Almagesto y complícate la vida

Por aquellas, astronomía y astrología se confundían en una amalgama que sólo unos siglos después comenzó a distinguirse con claridad y rigor científico. Por aquellas, los cristianos no entendían las teorías de Ptolomeo, y hasta el siglo XV no empezaron a ver la luz. Por lo tanto, por aquellas, fueron los musulmanes lo que tomaron carrerilla y se posicionaron como los sabios del universo. Claro que tenían sus motivaciones prácticas, como por ejemplo la regulación del tiempo y del calendario y la determinación de la dirección a la Meca. Pero eso no le quita nada de mérito al asunto.

A mediados del siglo II, Ptolomeo realizó un estudio exhaustivo y sistemático del cielo, cuyo fruto inicial fue el perfeccionamiento de la obra Hiparco. Como el trabajo de Hiparco se ha perdido en la noche de los tiempos, no tenemos ni idea de hasta qué punto Ptolomeo se basó en él.

Lo más relevante del sistema ptolemaico es que creó un refinado sistema para explicar los complejos movimientos de los planetas, suponiendo la Tierra como centro del universo, gracias al uso de epiciclos, ecuantes y otros artificios teóricos.

Ptolomeo creía que la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas giraban a su alrededor. A pesar de ello, mediante el modelo del epiciclo-deferente, cuya invención se atribuye a Apolonio, trató de resolver geométricamente los dos grandes problemas del movimiento planetario:

  • La retrogradación de los planetas y su aumento de brillo mientras retrogradan
  • La distinta duración de las revoluciones siderales

Según el modelo ptolemaico, el planeta se mueve sobre el epiciclo, que es una circunferencia pequeña de trazos, cuyo centro a su vez se mueve sobre el deferente (circunferencia grande de trazos).

  • El centro del deferente es X, pero el movimiento angular del epiciclo es aparentemente acorde sólo respecto al punto (·) que es el ecuante.
  • El deferente es el recorrido circular que describe el centro del epiciclo.
  • El ecuante es el punto en torno al cual se mueve el planeta en su trayectoria, aparentemente.

Para explicar la irregularidad del movimiento de los planetas, Ptolomeo afirmaba que si desde la Tierra la velocidad planetaria no parece ser regular, sí lo era desde el punto ecuante.

Instrumentos manuales para una nueva era

Esta visión del cosmos sería conocida durante toda la Edad Media. En Europa se conoció la obra de Ptolomeo, en gran medida, a través de traducciones medievales árabes. El trabajo de Ptolomeo sólo sería superado más de un milenio después con los trabajos teóricos y observacionales de los astrónomos de Maraga, que por cierto no se tiene muy claro donde se situaba el observatorio, más o menos entre Irán y Azerbayán. Ptolomeo explicitaba en el Almagesto cómo calcular los parámetros de su modelo a partir de observaciones, y para el siglo IX los musulmanes ya sabían como hacerlo. Los cristianos tuvieron que esperar a las traducciones y comentarios que se realizaron en el siglo XII.

Pero Ptolomeo no explicó lo más interesante, es decir, cual es el proceso de análisis de regularidades previsto según el modelo que podía dar cuenta de ellas. Ese nivel de madurez teórica fue alcanzado por los musulmanes en el siglo XIII, y por los cristianos unos tres siglos más tarde.

Las tablas en la astronomía son útiles para el cómputo del tiempo, el calendario y la astrología. Pero para recalcular los parámetros y construir tablas, se necesitan observaciones sistemáticas y precisas realizadas durante unos lustros. Ello llevó al diseño de instrumentos de observación.

El más común fue el astrolabio, que servía para diferentes propósitos de medición de ángulos. Su origen se encuentra en el siglo VI, pero a lo largo de toda la Edad Media sufrió importantes modificaciones, para determinar el tiempo y hacer mediciones tanto astronómicas como geodésicas.

Otro instrumento importante fue la esfera armilar, utilizada desde el siglo XIV. Era un instrumento manual con una serie de anillos graduados fijos o móviles para los distintos círculos celestes con la que se hacían predicciones.

En el mismo siglo se introdujo el radio astronómico, también llamado báculo de Jacob, una vara graduada con un travesaño móvil cuyos extremos se hacían coincidir con la distancia angular a medir.

Casi todo los instrumentos eran manuales y por tanto de precisión limitada, pero aún así, los mussulmanes corrigieron con buen tino los parámetros ptolemaicos.

Comenzaron en el siglo IX con los parámetros solares, descubriendo que había disminuido la oblicuidad de la eclíptica y el año trópico (el de las estaciones), mientras que había aumentado la precesión de los equinocios y la longitud de la línea de ápsides (la que pasa por el perigeo y el apogeo).

Aún así, los musulmanes seguían pensando que tenían mucho que aprender de Ptolomeo, por lo que no consideraron sus valores mejores, por lo que refinaron la matemática ptolemaica para representar un universo más acorde con las observaciones.

Los lamentos de al-Haytham

Otra novedad importante de la astronomía del islam fue el carácter físico o filosófico que le imprimieron. Los musulmanes eran tan matemáticos como físicos y desconfiaban de la realidad de las excéntricas y de los ecuantes, los cuales consideraban que tan solo maquillaban el hecho de que los movimientos supuestos no eran en realidad simples, circulares y uniformes en torno a un centro, como correspondían en esa época a la materia celeste, herencia aristotélica inamovible.

En el siglo XI, Ibn al-Haytham se lamentaba, 500 años antes de Copérnico, de la alegría con que se inventaban expedientes matemáticos que no se sometían a las restricciones físicas. Acusaba a Ptolomeo de violar sus propios principios físicos, como la uniformidad (merced a la ecuante) y la simplicidad de los movimientos de los cuerpos de éter (merced al epiciclo sobre deferente), lo que era indicio de que no habían dado con la verdadera constitución del Universo.

La reacción islámica a este reto fue doble:

  • Por un lado, en los siglos XII y XIII hubo un intento de retomar las esferas homocéntricas por parte de los aristotélicos andalusíes, Avempace, Aventofail y Alpetragio. Pero eso no significaba renunciar a los logros de la astronomía.
  • Por otro lado, en el siglo XIII, los astrónomos de Maraga consiguieron construir modelos astronómicamente precisos, inmunes a las críticas físicas de Ibn al-Haytham. Fueron los primeros modelos originales no ptolemaicos. La pieza clave de esta solución fue un teorema de al-Tusi que muestra cómo generar un movimiento rectilíneo con dos circulares, conocido como el par de al-Tusi

El par de al-Tusi

Nasir al-Din al-Tusi era persa, y aunque no os suene de nada, este ilustre personaje fue tan importante como para que el gobierno iraní le dedicara un sello y como para tener su propio cráter en la Luna, un cráter de más de 60 km de diámetro…¡sí que debió ser importante!.

Su importancia radica en que después de Ptolomeo, fue el primero en desarrollar modelos matemáticos propios y originales. Además de ser el primer matemático y astrónomo que tuvo una visión clara de la trigonometría plana y esférica.

Inventó una técnica geométrica que ayudó a la solución cinemática del movimiento linear como suma de dos movimientos circulares. Que era lo que pretendió Ptolomeo con sus epiciclos y ecuantes.

En qué consiste el par de al-Tusi, fíjate en la figura. El radio del círculo menor PDA es la mitad del radio mayor CDE, mientras que su velocidad angular es el doble y en sentido contrario que la del mayor. En esas condiciones, P oscilará por el diámetro CE. Es decir, se establece un movimiento vertical rectilíneo del punto P a lo largo del diámetro CE.

Si se monta un par de al-Tusi en lugar del deferente más ecuante de Ptolomeo, el resultado es equivalente al modelo ptolemaico, ambos generan las mismas posiciones, aunque con la ventaja de que cada movimiento es uniforme en torno a su centro, por lo que los círculos pueden aspirar a ser una representación real de las esferas físicas existentes en el cielo y no meros expedientes geométricos.

Es decir, al-Tusi advirtió que si un círculo gira dentro de una circunferencia de otro círculo dos veces mayor, entonces cualquier punto del círculo interior se movería a adelante y atrás a lo largo de una línea recta.

Variando los parámetros del modelo de Maraga aplicando el par de al-Tusi, se puede dar cuenta de los movimentos de todos los astros. Por ejemplo, si los ejes que pasan por A y B son paralelos, y CDE y DPA son ecuadores de esferas, P oscilará rectilíneamente, tal como ocurre en los modelos planetarios y lunar para la longitud. Pero si los ejes convergen según condiciones especificadas, P oscilará por un arco de círculo máximo, lo que se utiliza para la latitud.

Este teorema del Par de al-Tusi podría ser probado geométricamente, y podría ser ilustrado visualmente para crear un modelo del movimiento planetario. Los modelos que incorporaban versiones del par de al-Tusi aparecieron en los manuscritos bizantinos tardíos, y Copérnico hizo uso de sus principios cuando discuta sobre las variaciones en la precisión (el movimiento del eje de la Tierra alrededor del polo eclíptico), determinando las latitudes eclípticas de los planetas, y describiendo la órbita de Mercurio.

Sin embargo los modelos de Maraga no aportaban nada a la práctica técnica de la astronomía, por lo que no eran necesarios para la construcción de tablas y no pasaba nada si se seguían usando los modelos ptolemaicos. Eso es justo lo que hicieron los observadores de Samarcanda a finales del siglo XV, obteniendo precisiones sin precedentes. Pero estas tablas no fueron conocidas en occidente hasta el siglo XVII, cuando las observaciones considerablemente precisas de Tycho Brahe las privaron del impacto que de otro modo hubieran causado.